Algebra lineare Esempi

$y - 3 z = - 12$ , $- 2 x + y + 2 z = 5$ , $2 x + 3 z = 7$

Passaggio 1

Scrivi il sistema di equazioni sotto forma di matrice.

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & - 3 & - 12 \\ - 2 & 1 & 2 & 5 \\ 2 & 0 & 3 & 7 \end{array}]$

Passaggio 2

Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon.

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Passaggio 2.1

Swap $R_{2}$ with $R_{1}$ to put a nonzero entry at $1, 1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 1 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & - 3 & - 12 \\ 2 & 0 & 3 & 7 \end{array}]$

Passaggio 2.2

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Passaggio 2.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 1 & - \frac{1}{2} \cdot 2 & - \frac{1}{2} \cdot 5 \\ 0 & 1 & - 3 & - 12 \\ 2 & 0 & 3 & 7 \end{array}]$

Passaggio 2.2.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & - 1 & - \frac{5}{2} \\ 0 & 1 & - 3 & - 12 \\ 2 & 0 & 3 & 7 \end{array}]$

Passaggio 2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Passaggio 2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & - 1 & - \frac{5}{2} \\ 0 & 1 & - 3 & - 12 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 (- \frac{1}{2}) & 3 - 2 \cdot - 1 & 7 - 2 (- \frac{5}{2}) \end{array}]$

Passaggio 2.3.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & - 1 & - \frac{5}{2} \\ 0 & 1 & - 3 & - 12 \\ 0 & 1 & 5 & 12 \end{array}]$

Passaggio 2.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Passaggio 2.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & - 1 & - \frac{5}{2} \\ 0 & 1 & - 3 & - 12 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 5 + 3 & 12 + 12 \end{array}]$

Passaggio 2.4.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & - 1 & - \frac{5}{2} \\ 0 & 1 & - 3 & - 12 \\ 0 & 0 & 8 & 24 \end{array}]$

Passaggio 2.5

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{8}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

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Passaggio 2.5.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{8}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & - 1 & - \frac{5}{2} \\ 0 & 1 & - 3 & - 12 \\ \frac{0}{8} & \frac{0}{8} & \frac{8}{8} & \frac{24}{8} \end{array}]$

Passaggio 2.5.2

Semplifica $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & - 1 & - \frac{5}{2} \\ 0 & 1 & - 3 & - 12 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}]$

Passaggio 2.6

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

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Passaggio 2.6.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & - 1 & - \frac{5}{2} \\ 0 + 3 \cdot 0 & 1 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & - 12 + 3 \cdot 3 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}]$

Passaggio 2.6.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & - 1 & - \frac{5}{2} \\ 0 & 1 & 0 & - 3 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}]$

Passaggio 2.7

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

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Passaggio 2.7.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - \frac{1}{2} + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & - \frac{5}{2} + 1 \cdot 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 3 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}]$

Passaggio 2.7.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 & - 3 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}]$

Passaggio 2.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Passaggio 2.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{2} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{1}{2} \cdot 0 & - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 & 0 + \frac{1}{2} \cdot 0 & \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 3 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}]$

Passaggio 2.8.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 3 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}]$

Passaggio 3

Utilizza la matrice risultante per determinare le soluzioni finali del sistema di equazioni.

$x = - 1$

$y = - 3$

$z = 3$

Passaggio 4

La soluzione è l'insieme delle coppie ordinate che rendono il sistema vero.

$(- 1, - 3, 3)$

Passaggio 5

Scomponi un vettore soluzione riorganizzando ogni equazione rappresentata a scala ridotta per righe della matrice aumentata, risolvendo per la variabile dipendente in ogni riga che dà l'uguaglianza del vettore.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - 1 \\ - 3 \\ 3 \end{array}]$